研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定